پاورپوینت نظریه صف فصل سوم (pptx) 34 اسلاید
دسته بندی : پاورپوینت
نوع فایل : PowerPoint (.pptx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد اسلاید: 34 اسلاید
قسمتی از متن PowerPoint (.pptx) :
بنام خدا
QUEUING THEORY نظریه صف - فصل سوم
فصل سوم
توزیع نمایی
خواص توزیع نمایی
فرایند شمارشی
فرایند پواسون
رابطه بین فرایند پواسون و توزیع نمایی
خواص فرایند پواسون
تابع توزیع ارلنگ
موضوعات مورد بحث در فصل سوم
توزيع نمائي
متغير تصادفي X داراي توزيع نمائي است اگر تابع چگالي آن بصورت زير باشد:
: نرخ وقوع واقعه اي است كه در انتهاي توزيع نمائي رخ مي دهد.
تابع توزيع اين متغير تصادفي را به شرح زير محاسبه مي كنند:
براي محاسبه ميانگين و واريانس با توجه به تابع مولد گشتاور داريم:
خاصيت 1: بي حافظه بودن
مهمترين خاصيت توزيع نمايي اين است كه گذشتة آن نقشي در آينده اش ندارد. فرض كنيد كه زمان وقوع يك اتفاق، متغيري تصادفي با توزيع نمايي باشد. اگر تا لحظة معيني، مثلاً S، اين اتفاق نيفتاده باشد، مي توان از اين مدت زمان صرف نظر كرد و مبدأ زمان را به اين لحظه (لحظة S به جاي صفر) انتقال داد.
متغير تصادفي بي حافظه است اگر در رابطه زير صدق كند:
تنها متغير تصادفي پيوسته بي حافظه نمائي است.
خاصيت بي حافظگي بيشتر براي موقعي مهم است كه مقدار S نامعلوم باشد.
مثال
سيستم صفي را درنظر بگيريد كه يك خدمت دهنده دارد. مشتري وارد سيستم مي شود، كسي را در صف نمي بيند ولي خدمت دهنده مشغول خدمت دهي است.
P(زمان انتظار در صف >10 دقيقه |مدت زمان خدمت به مشتري در حال خدمت > s)= P(زمان انتظار در صف > 10 دقيقه) =
خواص توزيع نمائي
مثال
اگر خراب شدن ماشيني داراي توزيع نمايي باشد و پس از مدتي، مثلاً سه سال، ماشين مزبور هنوز خراب نشده باشد، خاصيت بدون حافظه بودن آن حكم مي كند كه سه سال گذشته را بايد فراموش كرد و زمان حال را مبناي محاسبات در نظر گرفت. بدين ترتيب، احتمال خراب شدن اين ماشين كهنه با احتمال خراب شدن ماشين نو معادل آن يكسان است. براي بيان اين موضوع به زبان رياضي، فرض كنيد كه X، متغير تصادفي با توزيع نمايي باشد. مي خواهيم نشان دهيم كه به ازاي تمام مقادير X و S رابطة زير صادق است:
اثبات
هر دو طرف رابطة فوق، احتمال خراب نشدن ماشين را، حداقل تا لحظة X (نسبت به زمان فعلي) نشان ميدهند. طرف سمت راست، مربوط به ماشين نو است، در حالي كه عبارت سمت چپ به ماشيني مربوط است كه تا اين لحظه عمري به اندازة S داشته است. براي اثبات رابطة از خاصيت احتمال شرطي استفاده ميشود، يعني:
خواص توزيع نمائي
مثال
فرض كنيد كه مدت مكالمات تلفني، متغيري تصادفي با توزيع نمايي و ميانگين 5 دقيقه است. شخصي به يك تلفن عمومي مراجعه و مشاهده مي كند كه شخص ديگري در حال مكالمه است، اما معلوم نيست كه مكالمه اش از چه زماني شروع شده است؟ احتمال اينكه اين شخص مجبور شود بيش از يك ساعت منتظر آزادشدن تلفن باند، چقدر است؟
حل :
چون متغير تصادفي نمايي بدون حافظه است، مي توان فرض كرد كه مكالمه از همان لحظه آغاز شده است. از طرف ديگر، چون ميانگين مكالمه 5 دقيقه است، پارامتر برابر با 5/1 خواهد بود. اگر مدت زمان مكالمة تلفن كننده را X فرض كنيم،
خواص توزيع نمائي
قضية : تنها متغير تصادفي پيوسته بدون حافظه، نمايي است.
اثبات: متغير تصادفي X ، كه بدون حافظه است، را در نظر بگيريد. بر اساس احتمال شرطي، داريم:
با استفاده از روابط فوق داریم :
نسبت به s مشتق مي گيريم:
از طرف ديگر، با توجه به اين موضوع كه تابع چگالي مشتق تابع توزيع است، رابطة زير را به دست مي آوريم :
خواص توزيع نمايي
ادامه اثبات:
f(s) تابع چگالي متغير تصادفي X به ازاي مقدار است.
ابتدا طرفين را بر تقسيم مي كنيم. از طرفي، چون نتايج فوق به ازاي تمام مقادير s صادق است، آن را به طور دلخواه مساوي صفر قرار مي دهيم.
از طرفين انتگرال معين (از صفر تا t ) گرفته مي شود، كه حاصل آن عبارت است از:
بنابراين مطابق با رابطه نشان داده مي شود كه X داراي توزيع نمايي با پارامتر f(0) است.
خواص توزيع نمايي