پاورپوینت کنترول پیشرفته (pptx) 28 اسلاید
دسته بندی : پاورپوینت
نوع فایل : PowerPoint (.pptx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد اسلاید: 28 اسلاید
قسمتی از متن PowerPoint (.pptx) :
1
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
مفهوم پایداری ورودی-خروجی (BIBO)
شرط وجود پایداری ورودی-خروجی (BIBO)
مفهوم پایداری داخلی (لیاپانوفی و مجانبی)
شرط وجود پایداری لیانوفی و مجانبی
بررسی پایداری مجانبی توسط معاله لیاپانوف
بررسی پایداری در سیستمهای LTV
Input-output stability (BIBO)
Input-output stable systems
Internal stability(in the sense of Lyapunov and asymptotic)
Marginal and asymptotic stability conditions
Internal stability by Lyapunov equation
Stability analysis for LTV state equation
2
خاصیت سیستم خطی
Linear System property
پاسخ ورودی صفر+ پاسخ حالت صفر = پاسخ کامل
مقدمه
Introduction
پاسخ سیستمهای خطی را می توان بصورت جمع پاسخ حالت صفر و پاسخ ورودی صفر بیان نمود. 1- پایداری ورودی خروجی سیستمهای خطی پایداری BIBO (ورودی کراندار خروجی کراندار) نامیده می شود. (پاسخ حالت صفر ) 2- پایداری داخلی سیستمهای خطی پایداری مجانبی نامیده می شود. (پاسخ ورودی صفر )
3
Input output stability of LTI system
در سیستم تک ورودی تک خروجی خطی غیر متغیر با زمان (LTI) خروجی را میتوان بصورت
نمایش داد که g(t) پاسخ ضربه بوده و سیستم در t=0 آرام است.
پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI
تعریف 5-1 : یک سیستم را پایدار BIBO گویند اگر هر ورودی محدود خروجی محدود را تولید کند. این پایداری برای پاسخ حالت صفر تعریف شده و سیستم در ابتدا آرام است.
قضیه 5-1 : یک سیستم SISOتوصیف شده با معادلات (I) را پایدار BIBO گویند اگر و فقط اگر قدر مطلق g(t) در بازه [0,∞) انتگرال پذیر باشد یا
M عدد ثابت می باشد.
4
Input output stability of LTI system
ابتدا قسمت اول را ثابت می کنیم.
لذا خروجی محدود است. پس سیستم پایدار BIBO است.
اثبات قضیه 5-1: باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم:
سیستم پایدار BIBO g(t) مطلقا انتگرال پذیر
g(t) مطلقا انتگرال پذیر سیستم پایدار BIBO
فرض کنید g(t) بطور مطلق انتگرال پذیر است باید نشان دهیم هر ورودی کراندار منجر به خروجی کراندار می شود.
ورودی کراندار دلخواه با شرط |u(t)| ≤ um < ∞ را در نظر بگیرید:
5
Input output stability of LTI system
حال به اثبات قسمت دوم قضیه می پردازیم.
اثبات قضیه 5-1(ادامه): باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم:
سیستم پایدار BIBO g(t) مطلقا انتگرال پذیر
g(t) مطلقا انتگرال پذیر سیستم پایدار BIBO
نشان می دهیم اگر g(t) مطلقا انتگرال پذیر نباشد، به تناقض می رسیم.
فرض کنید ورودی کراندار زیر را انتخاب کنیم:
تناقض
فرض کنید سیستم پایدار BIBO است باید نشان دهیم g(t) بطور مطلق انتگرال پذیر است.
اگر g(t) مطلقا انتگرال پذیر نباشد، آنگاه یک t1 وجود دارد به طوری که:
6
Input output stability of LTI system
پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI
آیا محدود بودن انتگرال قدرمطلق پاسخ ضربه به معنی محدود بودن پاسخ ضربه است؟
مثال 5-1: تابع مقابل داده شده است.
مساحت زیر هر مثلث: 1/n2
انتگرال قدر مطلق تابع :
تابع مطلقا انتگرال پذیر است اما تابع محدود نیست و برای t→∞ به صفر میل نمی کند.
7
قضیه 5-2 : اگر سیستمی با پاسخ ضربه g(t) پایدار BIBO باشد برای t→∞داریم:
1) خروجی تحریک شده به وسیله t ≥ 0، u(t)=a به سمت ĝ(0)×a میل می کند.
2) خروجی تحریک شده به وسیله t ≥ 0،t u(t)=sin ω̥ به سمت
میل می کند که ĝ(s) تبدیل لاپلاس g(t) است یعنی:
اثبات (1)
اگر برای تمام t ≥ 0، u(t)=a باشد، داریم:
طبق تعریف تبدیل لاپلاس به ازای s = 0 نتیجه می دهد که وقتی t→∞
بخش اول قضیه 5-2 اثبات شد.
Input output stability of LTI system
پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI
8
Input output stability of LTI system
اگر برای t ≥ 0 ورودی برابر t u(t)=sin ω̥ باشد، خروجی عبارتست از:
لذا برای t→∞ داریم:
با جایگزینی بخشهای حقیقی و موهومی در رابطه
پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI
اثبات (2)
چون سیستم پایدار BIBO است دو انتگرال فوق کراندار است و از طرفی
بخش دوم قضیه 5-2 اثبات شد.
9
قضیه 5-3 : یک سیستم SISO با تابع انتقال گویا و مناسب ĝ(s) پایدار BIBO است اگر فقط اگر هر قطب ĝ(s) دارای بخش حقیقی منفی باشد یا، به طور متعادل، در نیمه چپ صفحه s واقع شود.
اگر ĝ(s) دارای قطب pi با درجه تکرار mi باشد، بسط به صورت کسرهای جزئی آن شامل عوامل زیر است:
لذا تبدیل لاپلاس معکوس ĝ(s) یا پاسخ ضربه آن دارای عوامل زیر باشد.
می توان نشان داد که هر یک از این جمله ها مطلقا انتگرال پذیر است اگر و فقط اگر pi دارای بخش حقیقی منفی است.
Input output stability of LTI system
پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI