صفحه محصول - مقاله دستورهاي مثلثاتي

مقاله دستورهاي مثلثاتي (docx) 10 صفحه

دسته بندی : تحقیق

نوع فایل : Word (.docx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحات: 10 صفحه

قسمتی از متن Word (.docx) :

دستورهاي مثلثاتي واژه "مثلثات " از"مثلث " آمده است وترجمه اي است ازواژه اي فرانسوي هم ارزآن ،كه به معناي "اندازه گيري مثلث " است. درزبان فارسي ،به جاي "مثلثات"،ازواژه "سه بروارگانت" استفاده كرده اند.ازنام گذاري "مثلثات " مي توان حدس زدكه ،اين شاخه ازرياضيات ،دست كم درآغازپيدايش خود،به نحوي با"مثلث" ومساله هاي مربوط به مثلث بستگي داشته است.درواقع ،پيدايش وپيشرفت مثلثات را،بايدنتيجه اي ازتلاش هاي رياضي دانان ،درجهت رفع دشواري هاي مربوط به محاسبه هايي دانست كه ،درهندسه ودر اخترشناسي باآن روبه رو مي شدهاندوبيشترجنبه محاسبه اي داشته اند.رياضي دانان يوناني ، بيشتربه هندسه توجه داشتندوكمتربه محاسبه مي پرداختند.دراخترشناسي ،براي تعيين جاوموقعيت ستارگان ،فاصله هاي آن هاازيكديگروسايرويژگي هاي آن ها،به عددنيازداشتند،ولي درراه حل هندسي،پاسخ راازجمله به صورت يك پاره خط راست به ما مي دهدو،درنتيجه ،كاراخترشناسان رادشوار مي كرد.نمونه اي ازهندسه بياوريم .فرض كنيم، از مثلث ABC ،زاويه هايB,A وطول ضلع AB داده شده باشد.چگومه مي توانيم طول هريك ازضلع هاي Bc و AC راپيداكنيم؟درهندسه،راهي شاده براي رسم اين مثلث وجودداردو،درنتيجه،ضلع هاي BC و AC به صورت پاره خط هاي راستي به دست مي آيند.رسم مثلث و،سپس، اندازه گيري طول هاي دوضلع مجهول رانمي توان بادقت رياضي به دست آورد،زيرارسم و اندازه گيري به ياري ابزارهايي مثل خط كش ونقاله وپرگارانجام گيرد. هم اين ابزارها دقت رياضي ندارندوچشم مااشتباه مي كند.براي پيداكردن پاسخ دقيق ، محاسبه لازم است واين محاسبه ،درحالت كلي نيازبه مثلثات دارد.سعي كنيم ،اين مساله راحل كنيم .ولي پيش ازآن بايد دستورمثلثاتي مربوط به آن راپيداكنيم.دستورمثلثاتي راباهمان روشي پيدامي كنيم كه ، ابوريحان بيروني ،درهزارسال پيش پيداكرد.درمثلث ABC ،زاويه هارا A^، B^و C^وطول ضلع هاي روبه رو به آن ها را،به ترتيب a وb وc مي ناميم .به مركزراس B وبه شعاع برابر واحد،دايره اي رسم مي كنيم تاامتدادضلع BC رادرD قطع كند(شكل راببينيد).اين دايره را، كه سعاع آن واحداست،دايره مثلثاتي مي گيريم كه ،درآن نقطه D ،مبداكمان هاست .بنابراين ،سينوس كمان DMياسينوس زاويه B،برابرطول پاره خط راست PM برامتداد BCعموداست): شده اند. دراخترشناسي اغلب به مساله هايي برمي خوريم كه براي حل آن ها ،به مثلثات ودستورهاي آن نياز داريم. ساده ترين اين مساله ها، پيداكردن يك كمان دايره(برحسب درجه)است ،وقتي كه شعاع دايره وطول وتراين كمان معلوم باشد.يابرعكس ،پيداكردن طول وتري كه طول شعاع دايره واندازه كمان معلوم باشد.مي دانيدسينوس يك كمان ،ازلحاظ قدرمطلق،برابربانصف طول وتردوبرابرآن كمان است.همين تعريف ساده، اساس رابطه بين كمان هاووترهارادردايره، تشكيل مي دهدو،مثلثات هم ،ازهمين جاآغازشد.كهن ترين جدولي كه به ما رسيده است و،درآن ،طول وترهاي برخي كمان هاداده شده است ،متعلق به هيپارك،اخترشناس سده دوم ميلادي است.وشايد بتوان ،تنظيم اين جدول هارا،گام نخستين كوچكي،درراه پيدايش مثلثات دانست.منه لائوس رياضي دانان وبطلميوس اخترشناس هم(هردو ،درسده دوم ميلادي)،دراين زمينه ،نوشته هايي ازخودباقي گذاشته اند.ولي همه كارهاي رياضي دانان واخترشناسان يوناني، دردرون هندسه انجام گرفت وهرگزبه مفهوم هاي اصلي مثلثات نرسيدند.نخستين گام اصلي به وسيله آريابهاتا، رياضي دان هندي سده پنجم ميلادي برداشته شدكه ،درواقع،تعريفي براي نيم وتريك وتريك كمان (يعني،همان سينوس) داد....ازاين به بعد،به تقريب همه كارهاي مربوط به شكل گيري مثلثات (چه درروي صفحه وچه درروي كره ) به وسيله دانشمندان ايراني انجام گرفت. خوارزمي (محمد،فرزندموسا) نخستين جدول هاي سينوسي راتنظيم كردو،پس ازاو،همه رياضي دانان ايراني گام هايي درجهت تكميل اين جدول هاوگسترش مفهوم هاي مثلثاتي برداشتند.مروزي (محمد،فرزندعبدالله)، جدول سينوس هارا30دقيقه به 30 دقيقه (به تقريب)تنظيم كرد و،براي نخستين بار،به دليل نيازهاي اخترشناسي، مفهوم تانژانت را(كه ظل مي ناميدند) تعريف كرد.جدي ترين تلاش ها،به وسيله ابوريحان بيرونيوابوالوفاي بوزجاني(بوزجان ،همان تربت جام امروزي است) انجام گرفت كه توانستندپيچيده ترين دستورهاي مثلثاتي راپيداكنندوجدول هاي سينوسي وتانژانتي رابادقت بيشتري تنظيم كنند(ابوالوفا،باروش جالبي، به ياري نابرابري ها،توانست مقدارسينوس كمان 30دقيقه راپيداكند)و،سرانجام ،خواجه نصيرتوسي،باجمع بندي كارهاي دانشمندان ايراني پيش ازخود،نخستين كتاب مستقل مثلثات رانوشت.بعدازتوسي،جمشيد كاشاني،رياضي دان ايراني زمان تيموريان ،باروش زيبائي كه براي حل معادله درجه سوم پيداكرده بود،توانست راهي براي محاسبه شينوس كمان يك درجه –باهردقت دلخواه –پيداكند.پيشرفت بعدي دانش مثلثات ،ازسده پانزدهم ميلادي ودراروپاي غربي انجام گرفت . يادداشت.رياضي دانان ايراني ،براي سينوس،ازواژه"جيب" (واژه اي عربي به معناي "گريبان") وبراي كسينوس،ازواژه "جيب تمام" استفاده مي كردند،وقتي نوشته هاي رياضي دانان ايراني،وبه ويژه خوارزمي،به زبان لاتيني وزبان هاي اروپايي ترجمه شد،معناي واژه "جيب"(گريبان) رادرزبان خودبه جاي آن گذاشتند:سينوس،درزبان فرانسوي،همان معناي جيب رادرزبان عربي دارد.(نخستين ترجمه ازنوشته هاي رياضي دانان ايراني،كه درآن ،صحبت ازنسبت هاي مثلثاتي شده است ،ترجمه اي بودكه درسده دوازدهم ميلادي ،به وسيله "گرادوس،كره مونه سيس" ايتاليايي ،ازعربي به لاتيني انجام گرفت و،درآن ،واژه سينوس رابه كاربرد.امادرباره ريشه واژه "جيب"، دوديدگاه وجود دارد: "جيا" درزبان سانسكريت(هندي) به معناي وتروگاهي "نيم وتر" است .نخستين كتابي كه به وسيله فرازي ،يك رياضي دان ايراني، به دستور منصورخليفه عباسي به زبان عربي ترجمه شد، كتابي ازنوشته هاي دانشمندان هندي درباره اخترشناسي بود. مترجم، براي حرمت گذاشتن به نويسندگان كتاب ،"جيا"راتغييرنمي دهدوتنها،براي اين كه درعربي بي معنا نباشد،آن رابه صورت "جيب" درمي آورد.ديدگاه دوم، كه منطقي تربه نظرمي آيد ،اين است كه، درترجمه ،واژه فارسي "جيپ" {بروزن سيب} استفاده شدكه به معني"تكه چوب عمود" يا"ديرك" است. نسخه نويسان بعدي كه فارسي رافراموش كرده بودندومعناي "جيپ" رانمي دانستند،آن را"جيب"خواندندكه درعربي معنايي داشته باشد. مثلثات مثلثات ،شاخه اي ازرياضيات است كه پايه گذاري وپيشرفت آن را،بيش ازهرجاي ديگر،مديون رياضي دانان شرق وبه ويژه ايراني هستيم.بررسي هاي اخترشناسي ،رياضي دانان بابل ويونان باستان رابه سوي موضوع هايي اقليدس ازنخستين دانشمنداني است كه دراين زمينه تلاش هايي كرده است.آريستارك واراتوستن،به خاطرمحاسبه هاي مربوط به اخترشناسي وزمين سنجي( ) ازمفهوم هاي اوليه مثلثات استفاده مي كردند.تلاش ارشميدس ضمن بررسي دايره ، به محاسبه وترهاوپيداكردن زاويه هايي براي وترهاي مجموع وتفاضل دوكمان رسيد.شايدبتوان هيپارك رابه مفهومي بنيان گذارمثلثات دانست. اودرمحاسبه هاي خود،تقسيم بندي شصت شصتي بابلي ها رادر دايره (درجه ،دقيقه،ثانيه وغيره)پذيرفت وجدولي تنظيم كردكه درآن،برخي ازوترها محاسبه شده بود.واين،كهن ترين جدول مثلثاتي است كه تاكنون شناخته سده است .منه لائوس هم بررسي هايي داردكه مي توان به نحوي به مثلثات روي صحفه وروي كره تعبير كرد.بطلميوس درنوشته اساسي خودكه رياضي دانان ايراني به آن "المجسطي " مي گفتند،مثلثات زمان خودراآورده است.ولي يوناني ها،مثلثات رابه عنوان بخشي ازهندسه مي دانستندوبيشتر استدلال هاي خودرا بااستفاده ازقضيه هاي هندسي انجام مي دادند.آن هاهميشه ازوتر كمان هااستفاده مي كردندودرنوشته هاي آن ها نمي توان چيزي به معناي "خط هاي مثلثاتي" كمان ها پيداكرد.نخستين گام رادراين راه دانشمندان هندي برداشتند .آريابهاتا ،مفهوم "سينوس" را"جيا" ناميد.ازاين جا به بعد،همه پيشرفت هاي مثلثات رامديون رياضي دانان دوره حكومت اسلامي وبه ويژه ايراني هستيم. خوارزمي جدول سينوس ها راتنظيم كرد. بتاني مفهوم كتانژانت را(كه ظل تمام مي ناميد)وارد كرد.ابوالوفاي بوزجاني وابوريحان بيروني ،ازتانژانت (ظل) هم استفاده كردند،دستورمحاسبه سينوس مجموع وتفاضل دوكمان رابه دست آوردندوبرخي ازحالت هاي كروي راحل كردند.سرانجام نصيرالدين توسي ،باجمع بندي كارهاي رياضي دانان ايراني پيش ازخود،باتاليف كتاب"كشف القناع في اسرارشكل القطاع"،درواقع نخستين كتاب رادرباره مثلثات نوشت. نقش توسي رادرمثلثات ،بايد شبيه نقش اقليدس درهندسه دانست،ترجمه اي كه ازكتاب توسي به زبان فرانسوي انجام گرفت ،مدت ها به صورت كتاب ترجمه اي كه ازكتاب توسي به زبان فرانسوي انجام گرفت،مدت هابه صورت كتاب درسي،دراروپاي غربي تدريس مي شد.ازجمشيدكاشاني هم بايدنام ببريم كه توانست باحل جبري يك معادله درجه سوم ،مقدارسينوس يك درجه را(كه درمحاسبه هاي اخترشناسي لازم بود)به دست آورد. با انتشار نوشته هاي رياضي دانشمندان ايراني در غرب ،به تدريج كارهاي رياضي دانان اروپاي غربي وجنوبي ظاهرشد.فويرباخ (سده پانزدهم ميلادي) جدول تازه اي براي سينوس ها نوشت .رژيومونتان (دانشمندآلماني وشاگرد فوير باخ)، عددنويسي دهدهي را(كه جمشيد كاشاني دركتاب "مفتاح الحساب " خودبراي نخستين بارشرح داده بود) درجدول هاي مثلثاتي وارد كرد.قديمي ترين كتاب كامل مثلثات دراروپاي غربي ازاوست .كپرتيك (اخترشناس سده هاي پانزدهم وشانزدهم ) روي دستورهاي اصلي مثلثاتكروي كاركرد .رتيكوس شاگرد كوپرنيك ،جدولي شامل نسبت هاي مثلثاتي كمان ها،ده ثانيه ، ازصفر درجه تا90 درجه تنظيم كرد. ويت (دانشمند فرانسوي سده شانزدهم ) درباره بستگي سينوس وكسينوس ومثلثات كروي نوشته هايي دارد.ويت ثابت كرد، مساله مربوط به تقسيم زاويه به سه بخش برابر،در حالت كلي ،منجربه حل يك معادله درجه سوم مي شود. دزارك (دانشمندفرانسوي : 1593-1661) بررسي هاي ويت رادنبال ومثلث قطبي را(كه توسي هم درباره آن بحث كرده بود) وارد مثلثات كرد.نپر (دانشمنداسكاتندي:1550-1637)كسي كه كشف لگاريتم رابه اونسبت مي دهند، نسبت هايي ازمثلثات كروي رابه دست آوردكه بانام خوداومعروف است(پنج ئضلعي نپر) .بريگس نخستين جدول لگاريتم نسبت هاي مثلثاتي راتنظيم كرد. اولر(سده هجدهم ) بررسي هاي جدي وعميقي درباره تابع هاي مثلثاتي دارد. كارهاي اولررابايدمبناي واقعي روش هاي كنوني مثلثات دانست.مثلثات زاييده نياز مربوط به محاسبه هاي عملي است، به ويژه نياز به وسيله اي براي محاسبه عنصرهاي شكل هاي مختلف هندسي ،وقتي كه عنصرهايي ازآن هامعلوم باشد.حتا دريونان باستان ضمن حل يك رشته مساله هاي محاسبه هي مربوط به اخنرشناسي ،موفقيت هايي درمثلثات به دست آوردند .ولي شكل گيري مثلثات رابه عنوان يك شاخه مستقل،مديون رياضي دانان خاورميانه ونزديك هستيم .گرچه مثلثات شاخه مستقلي ازرياضيات شدوروش هاي خاص خودرا پيداكرد، به ظاهربه هدف شناسايي ومحاسبه عنصرهاي شكل هاي ساده هندسي (روي صفحه ودرفضا) خدمت مي كردوگمان مي رفت ،بررسي تابع هاي مثلثاتي ،جزازراه ساختمان هاي هندسي ممكن نيست ،ولي وقتي بين تابع هاي مثلثاتي (ودرآغازبابررسي هندسي)رابطه هاي جبري برقرارشد، اين امكان به دست آمدكه تابع هاي مثلثاتي راباروش هاي جبري مطالعه كنند،تبديل هاي مختلف آن هارابه دست آوردندورابطه هاي مختلفي بين عنصرهاي هندسي كشف شود. پيشرفت هاي بعدي نشان داد،تابع هاي مثلثاتي ،تنها ابزاري براي عمل محاسبه اي مساله هاي هندسي نيستندودرفيزيك ومكانيك هم ، وقتي ازفرآيندهاي تناوبي صحبت مي شود،اهميت جدي دارند.به اين ترتيب ،نظريه تابع هاي مثلثاتي ، داراي معنايي مستقل شدولازم بود، اساس تحليلي اين نظريه بدون اتكاي به هندسه پايه ريزي شود. لئوناراولر ، نخستين گام رادرزمينه نظريه تحليلي تابع هاي مثلثاتي برداشت ونيكلاي لباچوسكي براي تعريف تابع هاي مثلثاتي بدون استفاده ازهندسه اقليدوسي، نظريه تحليلي اين تابع هارابنيان گذاشت كه برپايه رشته هاي تواني تنظيم شده بود.درزمان ما، مثلثات رابه عنوان دانشي مستقل نمي شناسند،زيرا طبيعي است كه مساله هاي مربوط به محاسبه عنصرهاي شكل گيري هندسي به هندسه مربوط است ومثلثات نقشي كمكي رادرباره آن ها به عهده دارد.ازسوي ديگر،نظريه تحليلي تابع هاي مثلثاتي ،به فصلي ازآناليز رياضي مربوط مي شودكه به مطالعه نظريه تحليلي تابع هاي مثلثاتي ، به فصلي ازآناليز رياضي مربوط مي شودكه به مطالعه نظريه عمومي تابع هاي مقدماتي اختصاص دارد. ولي بااين كه درزمان ما، كسي مثلثات رابه عنوان دانشي مستقل نمي پذيرد ،دربرنامه هاي درسي همچون ماده مستقلي باقي مانده است وبه حق ، دردوره رياضيات دبيرستاني ، جاي مهمي راگرفته است. دربرنامه هاي مثلثات دبيرستاني، دوجهت اصلي ديده مي شود: تابعي ومحاسبه اي .اهميت زيادي دارد،زيرا اين تابع ها، درآناليز رياضي ،فيزيك، مكانيك وصنعت نقش اساسي دارند.درجهت دوم ،راه هاي محاسبه عنصرهاي شكل هاي هندسي ،بررسي مي شودكه اهميت آن دركاربرد عملي آن درهندسه ،فيزيك، صنعت ،اخترشناسي ، مساحي وغيره است.